Pourcentages successifs : pourquoi +20 % puis −20 % ne revient pas au point de départ

Un article coûte 100 €. Son prix augmente de 20 %, puis baisse de 20 %. Combien coûte-t-il ?

La réponse intuitive est 100 €. La bonne réponse est 96 €. Et cet écart de quatre euros explique une part importante des erreurs de la section Quant.

Pourquoi la variation ne s’annule pas

La réponse tient en trois mots : pourcentage de quoi.

• La hausse de 20 % s’applique à 100 : elle ajoute 20. Le prix passe à 120.
• La baisse de 20 % s’applique à 120, pas à 100 : elle retire 24. Le prix tombe à 96.

Les deux variations ont la même amplitude en pourcentage, mais pas la même base. La seconde porte sur un montant plus grand, donc elle retire davantage qu’on n’avait ajouté.

C’est aussi simple que cela, et c’est pour cette raison que le piège fonctionne : il n’y a rien de compliqué à comprendre, seulement une habitude à défaire.

Deux propriétés utiles à connaître

L’ordre ne change rien. Baisser de 20 % puis augmenter de 20 % donne aussi 96. Appliquer une hausse revient à multiplier par 1,2, appliquer une baisse à multiplier par 0,8 — et l’ordre de deux multiplications ne change pas le produit.

Le résultat est toujours inférieur au départ, quelle que soit l’amplitude, dès lors que les deux variations sont de même pourcentage et de sens opposés. C’est vrai pour 5 %, pour 20 %, pour 50 %.

Cette seconde propriété est précieuse, parce qu’elle permet d’éliminer sans calculer.

La méthode : partir de 100

Ne mémorisez pas de formule. Une formule apprise se confond avec une autre sous pression, et il en existe plusieurs pour des cas voisins.

Faites ceci à la place :

1. Partez de 100. Le résultat en pourcentage ne dépend pas de la base, donc autant prendre la plus commode.
2. Appliquez les variations dans l’ordre, une à la fois, en écrivant le montant intermédiaire.
3. Comparez au départ. 96 sur 100, c’est une baisse de 4 %.

Trois lignes, dix secondes, aucun risque de se tromper de cas.

Une régularité apparaît, et elle mérite d’être remarquée : plus l’amplitude est grande, plus la perte est importante. À 10 %, elle est d’un point ; à 50 %, d’un quart.

Pourquoi le GMAT aime ce piège

Pour deux raisons, et elles se cumulent.

Il fait perdre du temps. Un candidat qui doute recommence son calcul, vérifie, hésite. Dans une section où une fin non terminée est pénalisée, quatre-vingt-dix secondes perdues ici se paient plus loin.

Il fournit une mauvaise réponse crédible. Dans un QCM à cinq propositions, celle qu’on obtient en additionnant naïvement les pourcentages figure presque toujours parmi les choix. Un candidat pressé la coche avec confiance — c’est exactement l’effet recherché.

C’est une propriété générale des bons distracteurs : ils ne sont pas aléatoires, ils correspondent aux erreurs qu’on fait vraiment. Savoir cela change la façon de lire les propositions.

L’usage offensif : éliminer sans calculer

Puisque le résultat est nécessairement inférieur au point de départ, toute proposition égale ou supérieure est fausse. Sans calcul.

Reprenons l’exemple :

Le prix d’un article augmente de 20 %, puis baisse de 20 %. De quel pourcentage a-t-il varié au total ?

A. Il est inchangé · B. +4 % · C. −4 % · D. −2 % · E. −40 %

A et B tombent immédiatement : le résultat ne peut être ni égal ni supérieur au départ.

E tombe par encadrement : après la hausse, le prix dépasse le prix initial ; la baisse de 20 % en conserve 80 %, donc le résultat reste au-dessus de 80 % du prix de départ. Une perte de 40 % est impossible.

Restent C et D : une chance sur deux, en une quinzaine de secondes, sans avoir rien calculé. Si le temps manque, on coche et on passe — c’est le conseil officiel de GMAC pour le jour J : éliminer ce qu’on sait faux, puis choisir parmi ce qui reste.

Et si le temps le permet, les trois lignes de calcul donnent C.

Les variantes qui reviennent

Le même raisonnement se présente sous plusieurs habillages. Les reconnaître fait gagner le temps de la reconnaissance.

Le détail de chacune :

Les remises successives. « 30 % de remise, puis 20 % supplémentaires » ne fait pas 50 %. On part de 100 : 70, puis 56. Soit 44 % de remise.

La croissance composée. Une grandeur qui augmente de 10 % pendant trois ans n’a pas augmenté de 30 %. On part de 100 : 110, 121, 133,1. Soit 33,1 %.

Le retour au point de départ. « De quel pourcentage faut-il augmenter pour revenir au prix initial après une baisse de 20 % ? » Réponse : 25 %, pas 20 %. On part de 100, on descend à 80, et il faut ajouter 20 à 80 — soit un quart de 80.

Cette dernière variante est la plus piégeuse, parce que l’asymétrie y est explicite alors que l’intuition continue de réclamer la symétrie.

Les pourcentages de pourcentages. « 40 % des clients sont des femmes, et 25 % d’entre elles ont plus de 50 ans. » La seconde proportion porte sur les femmes, pas sur l’ensemble : cela fait 10 % du total, pas 25 %. On retrouve exactement ce piège dans les graphiques en secteurs de Graphics Interpretation.

Comment l’installer pour de bon

Un exercice court, à faire une fois sérieusement.

Prenez dix énoncés comportant deux variations successives. Pour chacun, avant tout calcul, écrivez :

1. la variation est-elle en hausse ou en baisse au total ?
2. quelles propositions puis-je éliminer sur ce seul critère ?
3. sur quelle base s’applique la seconde variation ?

Puis calculez, en partant de 100, et vérifiez.

Ce qui s’installe, ce n’est pas le calcul — vous savez déjà le faire. C’est le réflexe de se demander « pourcentage de quoi » avant de commencer. Une fois acquis, il règle aussi les remises, les croissances composées et les proportions imbriquées.

C’est l’un des rares réflexes qui se transfèrent tels quels : on le retrouve au Tage Mage, au GRE, et plus tard dans les entretiens de finance où l’on parle de marges et de croissances — voir les fiches techniques de PrepCareer. Les autres pièges récurrents de la section sont réunis dans les pièges du Quant GMAT.

Vérifier à la source

Les règles du GMAT évoluent, et un article vieillit plus vite que la page de l’organisateur. Voici les sources sur lesquelles repose ce qui précède.

Un réflexe qui vaut pour tout le blog : quand une décision dépend d’une date, d’un seuil ou d’un montant, allez le lire sur la page de l’organisme concerné. Un article résume, simplifie et vieillit ; une page officielle engage celui qui la publie. Nous datons nos relevés pour que vous sachiez quand la vérification s’impose.

Ce qu’il faut retenir

1. Deux variations opposées de même amplitude ne s’annulent jamais — le résultat est toujours inférieur au départ.
2. La cause : la seconde variation porte sur une base différente.
3. L’ordre des variations ne change pas le résultat.
4. Partez de 100 plutôt que de retenir une formule.
5. Éliminez avant de calculer : tout ce qui est égal ou supérieur au départ est faux.
6. Le réflexe à installer tient en trois mots : pourcentage de quoi.